极板 · 电场可视化
曲线分析
电容式微位移传感（手术机器人尖端）
核心物理公式
物理图像与推导
1. 两无限大带电平板的电场
单个无限大均匀带电面（面密度 σ）两侧场强大小 E₁ = σ/(2ε₀εr)，方向垂直于面。 两极板带 +σ 与 −σ，在板间区域两者的场方向相同、叠加相加，在板外区域方向相反、相互抵消：
E间 = σ/(2ε₀εr) + σ/(2ε₀εr) = σ/(ε₀εr) = Q/(ε₀εrS)
E外 = σ/(2ε₀εr) − σ/(2ε₀εr) = 0
即场强集中在板间，板外为零——这正是"电容器"能把电场"关"起来的原因（边缘效应区域除外）。
2. 由场强积分得电容
板间为匀强电场，沿一条电场线从正极板到负极板积分：
U = ∫₀d E·dl = E·d = Qd/(ε₀εrS)
C = Q/U = ε₀εrS/d
3. 三种变量关系的定性结论
| 改变量 | 恒压模式（U 固定，接电源） | 恒电荷模式（Q 固定，断开电源） |
|---|---|---|
| d ↑ | C↓，Q=CU↓，E=U/d↓，W=½CU²↓ | C↓，U=Q/C↑，E=Q/(ε₀εᵣS) 不变，W=Q²/(2C)↑ |
| S ↑ | C↑，Q↑，E 不变，W↑ | C↑，U↓，E↓，W↓ |
| εᵣ ↑（插入介质） | C↑，Q↑，E↓，W↑ | C↑，U↓，E↓，W↓ |
4. 边缘效应与近似条件
上述结果基于"极板尺寸 ≫ 板间距、忽略边缘散射"的近似。当 d 与极板线度可比时，板边缘电场线外凸， 实际 C 略大于理论值（一般大百分之几）。本平台提供边缘效应的定性绘制开关，用于理解该偏差来源。
5. 与电容式位移传感的联系
对 C=ε₀εᵣS/d 取对数微分：
dC/C = − dd/d ⇒ ΔC/C ≈ − Δd/d
只要测出 ΔC，就能反推微小位移 Δd；并在同一骨架上测力，构成"位移—力"双闭环，即手术机器人末端力反馈的物理基础。
作业作答（可直接抄写/提交）
第 1 题 (1)：AI 生成的平行板电容器数字孪生平台
网址：本地运行 site/index.html（双击即可，无需联网）；部署后可填写公网地址。
平台定位：以 C=ε₀εᵣS/d 为物理内核，构建"参数可调—实时求解—可视化—数据导出"的平行板电容器数字孪生， 让抽象公式变成可拖动、可观察、可测量的虚拟实验。
参数可调项：板间距 d（0.2–20 mm）、极板面积 S（10–400 cm²）、相对介电常数 εᵣ（1–80，含真空/纸/云母/玻璃/水等预设）、 介质填充比例（0–100 %）、外加电压 U（0–1000 V）、工作模式（恒压 / 恒电荷）。
交互方式：滑块与数字输出联动；鼠标可直接拖动负极板改变 d；材料芯片一键套用介电常数； 预设按钮切换典型工况；播放/暂停；页签切换；一键 CSV 导出当前实验数据。
功能模块：① 实时仿真页（极板、介质、电场线、等势线、电荷符号的动态绘制 + 六项实时读数）； ② 曲线分析页（C–d、C–S、C–εᵣ、E–d、W–d 曲线与工作点，附数据表）；③ 微位移传感页（μm 级位移 → ΔC → 反演位移与误差）； ④ 公式与理论页（含两无限大平板场强叠加推导）；⑤ 作业答案页。
技术实现：纯 HTML/CSS/JavaScript，无任何外部依赖，可离线运行；Canvas 2D 逐帧渲染； 物理内核按 SI 单位实时计算 C、Q、E、σ、W；所有读数与图形严格由同一套公式驱动，参数改变即时联动。
第 1 题 (2)：改变板间距 d，电容值如何变化？
结论：由 C=ε₀εᵣS/d 可知，在 S、εᵣ 不变时，电容 C 与板间距 d 成反比——d 增大，C 减小；d 减小，C 增大； d 加倍则 C 减半（在 d 与极板线度可比的范围内需修正边缘效应，实际 C 略大于理论值）。
平台实测（S=100 cm²，εᵣ=1，U=100 V，恒压模式）：
| d (mm) | C (pF) | Q (nC) | E (kV/m) | W (nJ) |
|---|
由表可见：d 每增大一倍，C、Q、E、W 均减半，验证 C∝1/d、Q=CU∝1/d、E=U/d∝1/d、W=½CU²∝1/d。
若改为恒电荷模式（先充电后断开电源，Q 不变）：C 仍随 d 增大而减小，但 U=Q/C∝d 增大、E=Q/(ε₀εᵣS) 保持不变、 W=Q²/(2C)∝d 增大——拉开极板要克服静电引力做机械功，功转化为电场能。
第 1 题 (3)：代码中的核心物理公式
C = ε₀εᵣS/d （电容决定式，平台一切计算的起点）
Q = C·U | E = U/d = σ/(ε₀εᵣ) | σ = Q/S
W = ½CU² = Q²/(2C) = ½QU | w = ½ε₀εᵣE²
1/C = Σ dᵢ/(ε₀εᵣᵢS) （多层介质串联，平台的"填充比例"功能即由此而来）
其中 ε₀=8.854×10⁻¹² F·m⁻¹。平台中 derive() 函数以 (d, S, εᵣ, U, 模式) 为输入，按上述公式求出 C、Q、E、σ、W 并驱动全部图形与读数。
第 2 题：微创手术机器人末端微位移传感
可调节的物理参数：① 极板正对面积 S（决定基础电容量与灵敏度）；② 初始极板间距 d₀（工作点，决定灵敏度与量程的折中）； ③ 介质相对介电常数 εᵣ（材料选择，εᵣ 越大幅度灵敏度越高）；④ 外加偏置/激励电压 U 与激励频率（信噪比）； ⑤ 信号调理增益 A、电桥桥臂参数、滤波带宽；⑥ 结构参数：差动电容的极板对数、弹性梁刚度。
原理链路：器械尖端受力/位移 → 弹性体带动动极板 → Δd → ΔC = −C₀·Δd/d₀ → 电容检测电路（交流电桥/电荷放大/CDC） → 放大滤波 → ADC → 数字反演位移 → 力估计 → 力反馈闭环控制 → 调整机械臂输出，抑制过载，避免组织损伤。
灵敏度与分辨率：S(d)=dC/dd=−ε₀εᵣS/d²=−C₀/d₀。取 C₀=17.71 pF、d₀=500 µm，则灵敏度约 35.4 fF/µm； 若电路可分辨 1 fF，则位移分辨力约 0.028 µm（28 nm），满足"微小移动"的实时监测要求。
工程要点：d₀ 减小可提高灵敏度，但量程减小、非线性增强（ΔC/C 只在 |Δd|≪d₀ 时线性）； 采用差动结构（一板间距增、另板间距减）可使灵敏度加倍并抑制温漂与共模干扰；需温度补偿与非线性校正； 力反馈须设置力上限、阻抗/柔顺控制与冗余限位，才能真正"避免组织损伤"。